1. 线性代数导论(29)-相似矩阵和若尔当形(最新讲义)
  2. 相似矩阵
  3. 若尔当形

线性代数导论(29)-相似矩阵和若尔当形(最新讲义)

在本讲的开始,先接着上一讲来继续说一说正定矩阵。

  • 正定矩阵的逆矩阵有什么性质?我们将正定矩阵分解为$A=S\Lambda S^{-1}$,引入其逆矩阵$A^{-1}=S\Lambda^{-1}S^{-1}$,我们知道正定矩阵的特征值均为正值,所以其逆矩阵的特征值也必为正值(即原矩阵特征值的倒数)所以,正定矩阵的逆矩阵也是正定的。

  • 如果$A,\ B$均为正定矩阵,那么$A+B$呢?我们可以从判定$x^T(A+B)x$入手,根据条件有$x^TAx>0,\ x^TBx>0$,将两式相加即得到$x^T(A+B)x>0$。所以正定矩阵之和也是正定矩阵。

  • 再来看有$m\times n$矩阵$A$,则$A^TA$具有什么性质?我们在投影部分经常使用$A^TA$,这个运算会得到一个对称矩阵,这个形式的运算用数字打比方就像是一个平方,用向量打比方就像是向量的长度平方,而对于矩阵,有$A^TA$正定:在式子两边分别乘向量及其转置得到$x^TA^TAx$,分组得到$(Ax)^T(Ax)$,相当于得到了向量$Ax$的长度平方,则$|Ax|^2\geq0$。要保证模不为零,则需要$Ax$的零空间中仅有零向量,即$A$的各列线性无关($rank(A)=n$)即可保证$|Ax|^2>0$,$A^TA$正定。

  • 另外,在矩阵数值计算中,正定矩阵消元不需要进行“行交换”操作,也不必担心主元过小或为零,正定矩阵具有良好的计算性质。

接下来进入本讲的正题。

相似矩阵

先列出定义:矩阵$A,\ B$对于某矩阵$M$满足$B=M^{-1}AM$时,成$A,\ B$互为相似矩阵。

对于在对角化一讲(第二十二讲)中学过的式子$S^{-1}AS=\Lambda$,则有$A$相似于$\Lambda$

  • 举个例子,$A=\begin{bmatrix}2&1\\1&2\end{bmatrix}$,容易通过其特征值得到相应的对角矩阵$\Lambda=\begin{bmatrix}3&0\\0&1\end{bmatrix}$,取$M=\begin{bmatrix}1&4\\0&1\end{bmatrix}$,则$B=M^{-1}AM=\begin{bmatrix}1&-4\\0&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}2&1\\1&2\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1&4\\0&1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}-2&-15\\1&6\end{bmatrix}$

    我们来计算这几个矩阵的的特征值(利用迹与行列式的性质),$\lambda_{\Lambda}=3,\ 1$$\lambda_A=3,\ 1$$\lambda_B=3,\ 1$

所以,相似矩阵有相同的特征值。

  • 继续上面的例子,特征值为$3,\ 1$的这一族矩阵都是相似矩阵,如$\begin{bmatrix}3&7\\0&1\end{bmatrix}$$\begin{bmatrix}1&7\\0&3\end{bmatrix}$,其中最特殊的就是$\Lambda$

现在我们来证明这个性质,有$Ax=\lambda x,\ B=M^{-1}AM$,第一个式子化为$AMM^{-1}x=\lambda x$,接着两边同时左乘$M^{-1}$$M^{-1}AMM^{-1}x=\lambda M^{-1}x$,进行适当的分组得$\left(M^{-1}AM\right)M^{-1}x=\lambda M^{-1}x$$BM^{-1}x=\lambda M^{-1}x$

$BM^{-1}=\lambda M^{-1}x$可以解读成矩阵$B$与向量$M^{-1}x$之积等于$\lambda$与向量$M^{-1}x$之积,也就是$B$的仍为$\lambda$,而特征向量变为$M^{-1}x$

以上就是我们得到的一族特征值为$3,\ 1$的矩阵,它们具有相同的特征值。接下来看特征值重复时的情形。

  • 特征值重复可能会导致特征向量短缺,来看一个例子,设$\lambda_1=\lambda_2=4$,写出具有这种特征值的矩阵中的两个$\begin{bmatrix}4&0\\0&4\end{bmatrix}$$\begin{bmatrix}4&1\\0&4\end{bmatrix}$。其实,具有这种特征值的矩阵可以分为两族,第一族仅有一个矩阵$\begin{bmatrix}4&0\\0&4\end{bmatrix}$,它只与自己相似(因为$M^{-1}\begin{bmatrix}4&0\\0&4\end{bmatrix}M=4M^{-1}IM=4I=\begin{bmatrix}4&0\\0&4\end{bmatrix}$,所以无论$M$如何取值该对角矩阵都只与自己相似);另一族就是剩下的诸如$\begin{bmatrix}4&1\\0&4\end{bmatrix}$的矩阵,它们都是相似的。在这个“大家族”中,$\begin{bmatrix}4&1\\0&4\end{bmatrix}$是“最好”的一个矩阵,称为若尔当形。

若尔当形在过去是线性代数的核心知识,但现在不是了(现在是下一讲的奇异值分解),因为它并不容易计算。

  • 继续上面的例子,我们在在出几个这一族的矩阵$\begin{bmatrix}4&1\\0&4\end{bmatrix},\ \begin{bmatrix}5&1\\-1&3\end{bmatrix},\ \begin{bmatrix}4&0\\17&4\end{bmatrix}$,我们总是可以构造出一个满足$trace(A)=8,\ \det A=16$的矩阵,这个矩阵总是在这一个“家族”中。

若尔当形

再来看一个更加“糟糕”的矩阵:

  • 矩阵$\begin{bmatrix}0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\end{bmatrix}$,其特征值为四个零。很明显矩阵的秩为$2$,所以其零空间的维数为$4-2=2$,即该矩阵有两个特征向量。可以发现该矩阵在主对角线的上方有两个$1$,在对角线上每增加一个$1$,特征向量个个数就减少一个。

  • 令一个例子,$\begin{bmatrix}0&1&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&1\\0&0&0&0\end{bmatrix}$,从特征向量的数目看来这两个矩阵是相似的,其实不然。

    若尔当认为第一个矩阵是由一个$3\times 3$的块与一个$1\times 1$的块组成的 $\left[\begin{array}{ccc|c}0&1&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&1\\\hline0&0&0&0\end{array}\right]$,而第二个矩阵是由两个$2\times 2$矩阵组成的$\left[\begin{array}{cc|cc}0&1&0&0\\0&0&0&0\\\hline0&0&0&1\\0&0&0&0\end{array}\right]$,这些分块被称为若尔当块。

若尔当块的定义型为$J_i=\begin{bmatrix}\lambda_i&1&&\cdots&\\&\lambda_i&1&\cdots&\\&&\lambda_i&\cdots&\\\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\\&&&&\lambda_i\end{bmatrix}$,它的对角线上只为同一个数,仅有一个特征向量。

所有有,每一个矩阵$A$都相似于一个若尔当矩阵,型为$J=\left[\begin{array}{c|c|c|c}J_1&&&\\\hline&J_2&&\\\hline&&\ddots&\\\hline&&&J_d\end{array}\right]$。注意,对角线上方还有$1$。若尔当块的个数即为矩阵特征值的个数。

在矩阵为“好矩阵”的情况下,$n$阶矩阵将有$n$个不同的特征值,那么它可以对角化,所以它的若尔当矩阵就是$\Lambda$,共$n$个特征向量,有$n$个若尔当块。


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