线性代数导论(24)-马尔科夫矩阵、傅里叶级数(最新讲义)

1. 马尔科夫矩阵

1.1. 马尔科夫矩阵(Markov matrix)是指具有以下两个特性的矩阵:

  1. 矩阵中的所有元素大于等于$0$;(因为马尔科夫矩阵与概率有关,而概率是非负的。)
  2. 每一列的元素之和为$1$

对于马尔科夫矩阵,我们关心幂运算过程中的稳态(steady state)。与上一讲不同,指数矩阵关系特征值是否为$0$,而幂运算要达到稳态需要特征值为$1$。

1.2. 根据上面两条性质,我们可以得出两个推论:

  1. 马尔科夫矩阵必有特征值为$1$;
  2. 其他的特征值的绝对值皆小于$1$。

使用第二十二讲中得到的公式进行幂运算
$u_k=A^ku_0=S\Lambda^kS^{-1}u_0=S\Lambda^kS^{-1}Sc=S\Lambda^kc=c_1\lambda_1^kx_1+c_2\lambda_2^kx_2+\cdots+c_n\lambda_n^kx_n$,
从这个公式很容易看出幂运算的稳态。比如我们取$\lambda_1=1$,其他的特征值绝对值均小于$1$,于是在经过$k$次迭代,随着时间的推移,其他项都趋近于$0$,于是在$k\to\infty$时,有稳态$u_k=c_1x_1$,这也就是初始条件$u_0$的第$1$个分量。

1.3. 我们来证明第一个推论,取

$A=\begin{bmatrix}0.1&0.01&0.3\\0.2&0.99&0.3\\0.7&0&0.4\end{bmatrix}$

$A-I=\begin{bmatrix}-0.9&0.01&0.3\\0.2&-0.01&0.3\\0.7&0&-0.6\end{bmatrix}$
观察$A-I$易知其列向量中元素之和均为$0$,因为马尔科夫矩阵的性质就是各列向量元素之和为$1$,现在我们从每一列中减去了$1$,所以这是很自然的结果。而如果列向量中元素和为$0$,则矩阵的任意行都可以用“零减去其他行之和”表示出来,即该矩阵的行向量线性相关。

用以前学过的子空间的知识描述,当$n$阶方阵各列向量元素之和皆为$1$时,则有
$\begin{bmatrix}1\\1\\\vdots\\1\end{bmatrix}$

在矩阵$A-I$左零空间中,即$(A-I)^T$行向量线性相关。而$A$特征值$1$所对应的特征向量将在$A-I$的零空间中,因为$Ax=x\rightarrow(A-I)x=0$。

另外,特征值具有这样一个性质:矩阵与其转置的特征值相同。因为我们在行列式一讲了解了性质10,矩阵与其转置的行列式相同,那么如果$\det(A-\lambda I)=0$,则有$\det(A-\lambda I)^T=0$,根据矩阵转置的性质有$\det(A^T-\lambda I^T)=0$,即$\det(A^T-\lambda I)=0$。这正是$A^T$特征值的计算式。

然后计算特征值$\lambda_1=1$所对应的特征向量,$(A-I)x_1=0$,得出$x_1=\begin{bmatrix}0.6\\33\\0.7\end{bmatrix}$,特征向量中的元素皆为正。

1.4. 接下来介绍马尔科夫矩阵的应用,我们用麻省和加州这两个州的人口迁移为例:

$\begin{bmatrix}u_{cal}\\u_{mass}\end{bmatrix}_{k+1}\begin{bmatrix}0.9&0.2\\0.1&0.8\end{bmatrix}\begin{bmatrix}u_{cal}\\u_{mass}\end{bmatrix}_k$
元素非负,列和为一。这个式子表示每年有$10%$的人口从加州迁往麻省,同时有$20%$的人口从麻省迁往加州。注意使用马尔科夫矩阵的前提条件是随着时间的推移,矩阵始终不变。

设初始情况$\begin{bmatrix}u_{cal}\\u_{mass}\end{bmatrix}_0=\begin{bmatrix}0\\1000\end{bmatrix}$
我们先来看第一次迁徙后人口的变化情况:
$\begin{bmatrix}u_{cal}\\u_{mass}\end{bmatrix}_1=\begin{bmatrix}0.9&0.2\\0.1&0.8\end{bmatrix}\begin{bmatrix}0\\1000\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}200\\800\end{bmatrix}$
随着时间的推移,会有越来越多的麻省人迁往加州,而同时又会有部分加州人迁往麻省。

计算特征值:
我们知道马尔科夫矩阵的一个特征值为$\lambda_1=1$,则另一个特征值可以直接从迹算出$\lambda_2=0.7$。

计算特征向量:
带入$\lambda_1=1$求$A-I$的零空间有$\begin{bmatrix}-0.1&0.2\\0.1&-0.2\end{bmatrix}$,则$x_1=\begin{bmatrix}2\\1\end{bmatrix}$,此时我们已经可以得出无穷步后稳态下的结果了。$u_{\infty}=c_1\begin{bmatrix}2\\1\end{bmatrix}$且人口总数始终为$1000$,则$c_1=\frac{1000}{3}$,稳态时$\begin{bmatrix}u_{cal}\\u_{mass}\end{bmatrix}_{\infty}=\begin{bmatrix}\frac{2000}{3}\\\frac{1000}{3}\end{bmatrix}$。注意到特征值为$1$的特征向量元素皆为正。

为了求每一步的结果,我们必须解出所有特征向量。带入$\lambda_2=0.7$求$A-0.7I$的零空间有$\begin{bmatrix}0.2&0.2\\0.1&0.1\end{bmatrix}$,则$x_2=\begin{bmatrix}-1\\1\end{bmatrix}$

通过$u_0$解出$c_1, c_2$,$u_k=c_11^k\begin{bmatrix}2\\1\end{bmatrix}+c_20.7^k\begin{bmatrix}-1\\1\end{bmatrix}$
带入$k=0$得$u_0=\begin{bmatrix}0\\1000\end{bmatrix}=c_1\begin{bmatrix}2\\1\end{bmatrix}+c_2\begin{bmatrix}-1\\1\end{bmatrix}$,解出$c_1=\frac{1000}{3}, c_2=\frac{2000}{3}$。

另外,有时人们更喜欢用行向量,此时将要使用行向量乘以矩阵,其行向量各分量之和为$1$。

2. 傅里叶级数

在介绍傅里叶级数(Fourier series)之前,先来回顾一下投影。

设$q_1,q_2,\cdots q_n$为一组标准正交基,则向量$v$在该标准正交基上的展开为$v=x_1q_1+x_2q_2+\cdots+x_nq_n$,此时我们想要得到各系数$x_i$的值。比如求$x_1$的值,我们自然想要消掉除$x_1q_1$外的其他项,这时只需要等式两边同乘以$q_1^T$,因为的$q_i$向量相互正交且长度为$1$,则$q_i^Tq_j=0, q_i^2=1$所以原式变为$q_1^Tv=x_1$。

写为矩阵形式有
$\Bigg[q_1\ q_2\ \cdots\ q_n\Bigg]\begin{bmatrix}x_1\\x_2\\\vdots\\x_n\end{bmatrix}=v$
即$Qx=v$。所以有$x=Q^{-1}v$,而在第十七讲我们了解到标准正交基有$Q^T=Q^{-1}$,所以我们不需要计算逆矩阵可直接得出$x=Q^Tv$。此时对于$x$的每一个分量有$x_i=q_i^Tv$。

接下来介绍傅里叶级数。先写出傅里叶级数的展开式:

$$
f(x)=a_0+a_1\cos x+b_1\sin x+a_2\cos 2x+b_2\sin 2x+\cdots
$$

傅里叶发现,如同将向量$v$展开(投影)到向量空间的一组标准正交基中,在函数空间中,我们也可以做类似的展开。将函数$f(x)$投影在一系列相互正交的函数中。函数空间中的$f(x)$就是向量空间中的$v$;函数空间中的$1,\cos x,\sin x,\cos 2x,\sin 2x,\cdots$就是向量空间中的$q_1,q_2,\cdots,q_n$;不同的是,函数空间是无限维的而我们以前接触到的向量空间通常是有限维的。

再来介绍何为“函数正交”。对于向量正交我们通常使用两向量内积(点乘)为零判断。我们知道对于向量$v,w$的内积为$v^Tw=v_1w_1+v_2w_2+\cdots+v_nw_n=0$,也就是向量的每个分量之积再求和。而对于函数$f(x)\cdot g(x)$内积,同样的,我们需要计算两个函数的每个值之积而后求和,由于函数取值是连续的,所以函数内积为:

$$f^Tg=\int f(x)g(x)\mathrm{d}x$$

在本例中,由于傅里叶级数使用正余弦函数,它们的周期都可以算作$2\pi$,所以本例的函数点积可以写作$f^Tg=\int_0^{2\pi}f(x)g(x)\mathrm{d}x$。
我来检验一个内积$\int_0^{2\pi}\sin{x}\cos{x}\mathrm{d}x=\left.\frac{1}{2}\sin^2x\right|_0^{2\pi}=0$,其余的三角函数族正交性结果可以参考傅里叶级数的“希尔伯特空间的解读”一节。

最后我们来看$\cos x$项的系数是多少($a_0$是$f(x)$的平均值)。同向量空间中的情形一样,我们在等式两边同时做$\cos x$的内积,原式变为
$\int_0^{2\pi}f(x)\cos x\mathrm{d}x=a_1\int_0^{2\pi}\cos^2x\mathrm{d}x$,
因为正交性等式右边仅有$\cos x$项不为零。进一步化简得
$a_1\pi=\int_0^{2\pi}f(x)\cos x\mathrm{d}x\rightarrow a_1=\frac{1}{\pi}\int_0^{2\pi}f(x)\cos x\mathrm{d}x$。

于是,我们把函数$f(x)$展开到了函数空间的一组标准正交基上。


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