线性代数导论(8)-求解Ax=b 可解性和解的结构(最新讲义)

1. 举例

和上一讲一样的:$3 \times 4$矩阵
$$A= \begin{bmatrix} 1 & 2 & 2 & 2\\ 2 & 4 & 6 & 8\\ 3 & 6 & 8 & 10\\ \end{bmatrix}$$
求$Ax=b$的特解

1.1. 写出其增广矩阵(augmented matrix)

$\left[\begin{array}{c|c}A & b\end{array}\right]$

$$\left[ \begin{array}{c c c c|c} 1 & 2 & 2 & 2 & b_1 \\ 2 & 4 & 6 & 8 & b_2 \\ 3 & 6 & 8 & 10 & b_3 \\ \end{array} \right] \underrightarrow{消元} \left[ \begin{array}{c c c c|c} 1 & 2 & 2 & 2 & b_1 \\ 0 & 0 & 2 & 4 & b_2-2b_1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & b_3-b_2-b_1 \\ \end{array} \right]$$

1.2. 讨论$b$满足什么条件才能让方程$Ax=b$有解:

  • 当且仅当$b$属于$A$的列空间时。即,b 必须是A 的各列的线性组合,
  • 另一种描述:如果$A$的各行线性组合得到$0$行,则$b$端分量做同样的线性组合,结果也为$0$时,方程才有解。
    显然,第二阶段消元,可以看到最后一个方程,有解的必要条件为$b_3-b_2-b_1=0$

1.3. 解法:令所有自由变量取$0$

则有
$$\Big\lbrace \begin{eqnarray*} x_1 & + & 2x_3 & = & 1 \\ & & 2x_3 & = & 3 \\ \end{eqnarray*}$$

解得
$$\Big\lbrace \begin{eqnarray*} x_1 & = & -2 \\ x_3 & = & \frac{3}{2} \\ \end{eqnarray*}$$

1.4. 代入$Ax=b$求得特解

$$x_p= \begin{bmatrix} -2 \\ 0 \\ \frac{3}{2} \\ 0 \end{bmatrix}$$

1.5. 令$Ax=b$成立的所有解

$$\Big\lbrace \begin{eqnarray*} A & x_p & = & b \\ A & x_n & = & 0 \\ \end{eqnarray*}$$

两式相加
$A(x_p+x_n)=b$

即$Ax=b$的解集为其特解加上零空间,对本例有:
$$x_{complete}= \begin{bmatrix} -2 \\ 0 \\ \frac{3}{2} \\ 0 \end{bmatrix} + c_1\begin{bmatrix}-2\\1\\0\\0\\\end{bmatrix} + c_2\begin{bmatrix}2\\0\\-2\\1\\\end{bmatrix}$$

把所有这些解在四维空间中都画出来,想象一下,Xp 是一个非原点的点,Xn 是一个穿过原点的平面,
那么Xp+Xn 是两者的组合,是一个不经过原点的经过Xp 的二维平面,注意它不是子空间。

2. 秩r 与Ax=b 的解的关系

对于$m \times n$矩阵$A$,有矩阵$A$的秩$r \leq min(m, n)$

列满秩$r=n$,各列线性无关情况:

有$0$ 解(无解)或唯一解, $b$ 如果恰好是$A$ 的列的线性组合则有唯一解

每一列都有主元,0 个自由变量,此时零空间 $N(A)$只有零向量,因为没有自由变量能够赋值,列的线性组合无法产生 $0$ 列
Ax=b 的全部解:0 个或一个解,如果有解,即是唯一解特解Xp
令自由元等于0,带入方程组中求出主元的值,这组解我们叫做特解(particular solution)下边记做:Xp

$$A= \begin{bmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 1 \\ 6 & 1 \\ 5 & 1 \\ \end{bmatrix}$$ $rank(A)=2$,要使$Ax=b, b \neq 0$有非零解,
$b$必须取$A$中各列的线性组合,此时A的零空间中只有$0$向量。

例子:




## 行满秩$r=m$ 各行线性无关情况
有无穷个解, 特解+零空间

此时消元会得到每一行都有一个主元,自由变量n-r(n-m)个,此时对任意的b,Ax=b 都有解。

$$A= \begin{bmatrix} 1 & 2 & 6 & 5 \\ 3 & 1 & 1 & 1 \\ \end{bmatrix}$$ $rank(A)=2$,$\forall b \in R^m都有x \neq 0的解$,因为此时$A$的列空间为$R^m$,$b \in R^m$恒成立,组成$A$的零空间的自由变量有n-r个。

例子:



## 行列满秩情况$r=m=n$ 行,列线性无关:

有唯一解, $b$ 是$A$ 列向量的线性组合

零空间只包含 $0$ 向量,此时对于任意的$b$,$Ax=b$ 都有解。由$r=n$ 知道有唯一解。

$$A= \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \\ \end{bmatrix}$$

则$A$最终可以化简为$R=I$,其零空间只包含$0$向量。

例子

这种满秩的方阵还有另一个名字就是可逆矩阵

行列秩都不满的矩阵 $r<m, r<n$

有 $0$ 解或无穷解, 如果 $b$ 的行和$A$ 的行向量之间有相同的组合关系,那有无穷解,否则有 $0$ 解

例子

秩的总结(很重要):

$\begin{array}{c|c|c|c}r=m=n&r=n\lt m&r=m\lt n&r\lt m,r\lt n\\R=I&R=\begin{bmatrix}I\\0\end{bmatrix}&R=\begin{bmatrix}I&F\end{bmatrix}&R=\begin{bmatrix}I&F\\0&0\end{bmatrix}\\1\ solution&0\ or\ 1\ solution&\infty\ solution&0\ or\ \infty\ solution\end{array}$$

线性代数(十二) : 线性方程组Ax=b可解性与解的结构 - CSDN博客


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