1. 线性代数导论(33)-单元检测3复习(最新讲义)
  2. 第三十三讲:单元检测3复习

线性代数导论(33)-单元检测3复习(最新讲义)

第三十三讲:单元检测3复习

在上一次复习中,我们已经涉及了求特征值与特征向量(通过解方程$\det(A-\lambda I)=0$得出$\lambda$,再将$\lambda$带入$A-\lambda I$求其零空间得到$x$)。

接下的章节来我们学习了:

  • 解微分方程$\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}t}=Au$,并介绍了指数矩阵$e^{At}$
  • 介绍了对称矩阵的性质$A=A^T$,了解了其特征值均为实数且总是存在足量的特征向量(即使特征值重复特征向量也不会短缺,总是可以对角化);同时对称矩阵的特征向量正交,所以对称矩阵对角化的结果可以表示为$A=Q\Lambda Q^T$
  • 接着我们学习了正定矩阵;
  • 然后学习了相似矩阵,$B=M^{-1}AM$,矩阵$A,B$特征值相同,其实相似矩阵是用不同的基表示相同的东西;
  • 最后我们学习了奇异值分解$A=U\varSigma V^T$

现在,我们继续通过例题复习这些知识点。

  1. 解方程$\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}t}=Au=\begin{bmatrix}0&-1&0\\1&0&-1\\0&1&0\end{bmatrix}u$

    首先通过$A$的特征值/向量求通解$u(t)=c_1e^{\lambda_1t}x_1+c_2e^{\lambda_2t}x_2+c_3e^{\lambda_3t}x_3$,很明显矩阵是奇异的,所以有$\lambda_1=0$

    继续观察矩阵会发现$A^T=-A$,这是一个反对称矩阵(anti-symmetric)或斜对陈矩阵(skew-symmetric),这与我们在第二十一讲介绍过的旋转矩阵类似,它的特征值应该为纯虚数(特征值在虚轴上),所以我们猜测其特征值应为$0\cdot i,\ b\cdot i,\ -b\cdot i$。通过解$\det(A-\lambda I)=0$验证一下:$\begin{bmatrix}-\lambda&-1&0\\1&-\lambda&-1\\0&1&\lambda\end{bmatrix}=\lambda^3+2\lambda=0, \lambda_2=\sqrt 2i, \lambda_3=-\sqrt 2i$

    此时$u(t)=c_1+c_2e^{\sqrt 2it}x_2+c_3e^{-\sqrt 2it}x_3$$e^{\sqrt 2it}$始终在复平面单位圆上,所以$u(t)$及不发散也不收敛,它只是具有周期性。当$t=0$时有$u(0)=c_1+c_2+c_3$,如果使$e^{\sqrt 2iT}=1$$\sqrt 2iT=2\pi i$则也能得到$u(T)=c_1+c_2+c_3$,周期$T=\pi\sqrt 2$

    另外,反对称矩阵同对称矩阵一样,具有正交的特征向量。当矩阵满足什么条件时,其特征向量相互正交?答案是必须满足$AA^T=A^TA$。所以对称矩阵$A=A^T$满足此条件,同时反对称矩阵$A=-A^T$也满足此条件,而正交矩阵$Q^{-1}=Q^T$同样满足此条件,这三种矩阵的特征向量都是相互正交的。

    上面的解法并没有求特征向量,进而通过$u(t)=e^{At}u(0)$得到通解,现在我们就来使用指数矩阵来接方程。如果矩阵可以对角化(在本例中显然可以),则$A=S\Lambda S^{-1}, e^{At}=Se^{\Lambda t}S^{-1}=S\begin{bmatrix}e^{\lambda_1t}&&&\\&e^{\lambda_1t}&&\\&&\ddots&\\&&&e^{\lambda_1t}\end{bmatrix}S^{-1}$,这个公式在能够快速计算$S,\lambda$时很方便求解。

  2. 已知矩阵的特征值$\lambda_1=0,\lambda_2=c,\lambda_3=2$,特征向量$x_1=\begin{bmatrix}1\\1\\1\end{bmatrix},x_2=\begin{bmatrix}1&-1&0\end{bmatrix},x_3=\begin{bmatrix}1\\1\\-2\end{bmatrix}$

    $c$如何取值才能保证矩阵可以对角化?其实可对角化只需要有足够的特征向量即可,而现在特征向量已经足够,所以$c$可以取任意值。

    $c$如何取值才能保证矩阵对称?我们知道,对称矩阵的特征值均为实数,且注意到给出的特征向量是正交的,有了实特征值及正交特征向量,我们就可以得到对称矩阵。

    $c$如何取值才能使得矩阵正定?已经有一个零特征值了,所以矩阵不可能是正定的,但可以是半正定的,如果$c$去非负实数。

    $c$如何取值才能使得矩阵是一个马尔科夫矩阵?在第二十四讲我们知道马尔科夫矩阵的性质:必有特征值等于$1$,其余特征值均小于$1$,所以$A$不可能是马尔科夫矩阵。

    $c$取何值才能使得$P=\frac{A}{2}$是一个投影矩阵?我们知道投影矩阵的一个重要性质是$P^2=P$,所以有对其特征值有$\lambda^2=\lambda$,则$c=0,2$。

    题设中的正交特征向量意义重大,如果没有正交这个条件,则矩阵$A$不会是对称、正定、投影矩阵。因为特征向量的正交性我们才能直接去看特征值的性质。

  3. 复习奇异值分解,$A=U\varSigma V^T$

    先求正交矩阵$V$:$A^TA=V\varSigma^TU^TU\varSigma V^T=V\left(\varSigma^T\varSigma\right)V^T$,所以$V$是矩阵$A^TA$的特征向量矩阵,而矩阵$\varSigma^T\varSigma$是矩阵$A^TA$的特征值矩阵,即$A^TA$的特征值为$\sigma^2$

    接下来应该求正交矩阵$U$:$AA^T=U\varSigma^TV^TV\varSigma U^T=U\left(\varSigma^T\varSigma\right)U^T$,但是请注意,我们在这个式子中无法确定特征向量的符号,我们需要使用$Av_i=\sigma_iu_i$,通过已经求出的$v_i$来确定$u_i$的符号(因为$AV=U\varSigma$),进而求出$U$。

    已知$A=\bigg[u_1\ u_2\bigg]\begin{bmatrix}3&0\\0&2\end{bmatrix}\bigg[v_1\ v_2\bigg]^T$

    从已知的$\varSigma$矩阵可以看出,$A$矩阵是非奇异矩阵,因为它没有零奇异值。另外,如果把$\varSigma$矩阵中的$2$改成$-5$,则题目就不再是奇异值分解了,因为奇异值不可能为负;如果将$2$变为$0$,则$A$是奇异矩阵,它的秩为$1$,零空间为$1$维,$v_2$在其零空间中。

  4. $A$是正交对称矩阵,那么它的特征值具有什么特点

    首先,对于对称矩阵,有特征值均为实数;然后是正交矩阵,直觉告诉我们$|\lambda|=1$。来证明一下,对于$Qx=\lambda x$,我们两边同时取模有$\|Qx\|=|\lambda|\|x\|$,而正交矩阵不会改变向量长度,所以有$\|x\|=|\lambda|\|x\|$,因此$\lambda=\pm1$

    $A$是正定的吗?并不一定,因为特征向量可以取$-1$。

    $A$的特征值没有重复吗?不是,如果矩阵大于$2$阶则必定有重复特征值,因为只能取$\pm1$。

    $A$可以被对角化吗?是的,任何对称矩阵、任何正交矩阵都可以被对角化。

    $A$是非奇异矩阵吗?是的,正交矩阵都是非奇异矩阵。很明显它的特征值都不为零。

    证明$P=\frac{1}{2}(A+I)$是投影矩阵

    我们使用投影矩阵的性质验证,首先由于$A$是对称矩阵,则$P$一定是对称矩阵;接下来需要验证$P^2=P$,也就是$\frac{1}{4}\left(A^2+2A+I\right)=\frac{1}{2}(A+I)$。来看看$A^2$是什么,$A$是正交矩阵则$A^T=A^{-1}$,而$A$又是对称矩阵则$A=A^T=A^{-1}$,所以$A^2=I$。带入原式有$\frac{1}{4}(2A+2I)=\frac{1}{2}(A+I)$,得证。

    我们可以使用特征值验证,$A$的特征值可以取$\pm1$,则$A+I$的特征值可以取$0,2$,$\frac{1}{2}(A+I)$的特征值为$0,1$,特征值满足投影矩阵且它又是对称矩阵,得证。


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