线性代数导论(18)-行列式及其性质(最新讲义)

行列式(Determinant)是数学中的一个函数,将一个 $n\times n$的矩阵$A$映射到一个标量,记作$\det(A)$或$|A|$.
关于方阵的行列式,需要行列式的重要原因是求特征值。每个方阵都有与其相关的行列式值detA,或者|A|,一个行列式的值把尽可能的信息包含在里头。行列式可以检验矩阵的可逆性,行列式非零等价于矩阵可逆,行列式为零等价于矩阵是奇异矩阵。

行列式(determinant)的三个基本性质及其他性质:

1. 性质1: $\det{I}=1$,单位矩阵行列式值为1。

2. 性质2: 交换矩阵的行,行列式的值的符号会相反.

(由性质1 和2 就可知置换矩阵P 的行列式等于1(交换偶数次)或-1(交换奇数次),正负看交换次数是奇还是偶。如果通过奇数次换行得到的矩阵不可能由偶数次换行得到。)
对置换矩阵有
$\det P=\begin{cases}1\quad &even\\-1\quad &odd\end{cases}$
举例:
$\begin{vmatrix}1&0\\0&1\end{vmatrix}=1,\quad\begin{vmatrix}0&1\\1&0\end{vmatrix}=-1$
于是我们猜想,对于二阶方阵,行列式的计算公式为
$\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}=ad-bc$

3. 性质3:

1)如果第i 的每个元素都是t 的倍数,那么行列式可将倍数t 提取出来
$\begin{vmatrix}ta&tb\\tc&td\end{vmatrix}=t\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}$

2)如果某一行i 由两个数字相加,那么行列式可以分解成那两个行列式的值相加
$\begin{vmatrix}a+a'&b+b'\\c&d\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}a'&b'\\c&d\end{vmatrix}$
注意这里并不是指$\det (A+B)=\det A+\det B$,方阵相加会使每一行相加,这里仅是针对某一行的线性变换。
行列式是一个线性函数,每一行表现为线性函数,如果其余行都保持不变。(每行独立成立的线性性质)

4. 性质4: 如果两行相等,则行列式为零。

使用性质2交换两行易证,交换那个相等的两行,那么行列式符号相反,但本身这两行相同,所以交换后的矩阵一模一样,行列式不变,只有detA=0 才满足。这也与:有两个相等的行的矩阵是不可逆的奇异矩阵detA=0 的事实相符

5. 性质5:从第$k$行中减去第$i$行的$l$倍,行列式不变。

这条性质是针对消元的,我们可以先消元,将方阵变为上三角形式后再计算行列式。
举例:
$\begin{vmatrix}a&b\\c-la&d-lb\end{vmatrix}\stackrel{3.b}{=}\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}a&b\\-la&-lb\end{vmatrix}\stackrel{3.a}{=}\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}-l\begin{vmatrix}a&b\\a&b\end{vmatrix}\stackrel{4}{=}\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}$

6. 性质6:如果方阵的某一行为零,则其行列式值为零。

使用性质3.a对为零行乘以不为零系数$l$,使$l\det A=\det A$即可证明;或使用性质5将某行加到为零行,使存在两行相等后使用性质4即可证明。

7. 性质7:矩阵A 通过消元法得到上三角阵 $U$ 的主对角线上的元素为$d1,d2,di,..dn$,那么这个矩阵的行列式为$\det U=d_1d_2\cdots d_n$

计算软件比如matlab 都是用这种方法求行列式的。detA 的值要看消元时换行次数。
有上三角行列式
$U=\begin{vmatrix}d_{1}&*&\cdots&*\\0&d_{2}&\cdots&*\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\0&0&\cdots&d_{n}\end{vmatrix}$则$\det U=d_1d_2\cdots d_n$。
证明:使用性质5,从最后一行开始,将对角元素上方的*元素依次变为零,可以得到下面的对角行列式
$D=\begin{vmatrix}d_{1}&0&\cdots&0\\0&d_{2}&\cdots&0\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\0&0&\cdots&d_{n}\end{vmatrix}$
再使用性质3将对角元素提出得到
$d_nd_{n-1}\cdots d_1\begin{vmatrix}1&0&\cdots&0\\0&1&\cdots&0\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\0&0&\cdots&1\end{vmatrix}$得证。

8. 性质8:当矩阵$A$为奇异矩阵时,$\det A=0$;当且仅当$A$可逆时,有$\det A\neq0$。

如果矩阵可逆,则化简为上三角形式后各行都含有主元,行列式即为主元乘积;如果矩阵奇异,则化简为上三角形式时会出现全零行,行列式为零。
再回顾二阶情况:
$\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}\xrightarrow{消元}\begin{vmatrix}a&b\\0&d-\frac{c}{a}b\end{vmatrix}=ad-bc$前面的猜想得到证实。

9. 性质9:$\det AB=(\det A)(\det B)$。(注意A+B 的行列式不等于他们各自行列式之和)

使用这一性质,$\det I=\det{A^{-1}A}=\det A^{-1}\det A$,所以$\det A^{-1}=\frac{1}{\det A}$。
同时还可以得到:$\det A^2=(\det A)^2$,以及$\det 2A=2^n\det A$,(行列式A 可以将每行的公因子2 提取出来,就像三维立方体的体积,边都变为2 边,体积变为8 倍)

10. 性质10: A 转置的行列式等于A 的行列式 $\det A^T=\det A$

证明:A=LU,L 是下三角矩阵,对角线上都是1,|A|=1,$\left|A^T\right|=\left|A\right|\rightarrow\left|U^TL^T\right|=\left|LU\right|\rightarrow\left|U^T\right|\left|L^T\right|=\left|L\right|\left|U\right|$,值得注意的是,$L, U$的行列式并不因为转置而改变,得证。(对任何三角矩阵求行列式的时候非主对角线上元素都可忽略,看成对角阵即可)

前面一直在关注行的属性给行列式带来的变化,有了这条性质,行的属性同样适用于列,比如不光当矩阵的行全0 时行列式为0,当矩阵的某列全0 时行列式也为0,并且,比如对性质2,交换两列会改变行列式的符号。

11. 求行列式

通过消元法,把A 化简为U。求行列式的方法:
1)如果矩阵A 是奇异的,那么通过消元法将得到全零行,行列式为0;
2)如果矩阵A 是可逆的(非奇异),那么A 通过消元将得到U 上三角矩阵,进一步消元将得到对角矩阵D,行列式为d1d2…*dn。


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