线性代数导论(20)-克拉默法则、逆矩阵、体积(最新讲义)

本讲主要介绍逆矩阵的应用。

1. 求逆矩阵

我们记得以前矩阵的逆是如何求的,通常把矩阵变为增广矩阵,然后将左边变为单位矩阵,右边就变为了逆矩阵.现在使用行列式的方式求。

  1. 对于二阶矩阵的逆矩阵有

    $\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}^{-1}=\frac{1}{ad-bc}\begin{bmatrix}d&-b\\-c&a\end{bmatrix}$

    观察易得,系数项就是行列式的倒数,而矩阵则是由一系列代数余子式组成的。先给出公式:
    $$
    A^{-1}=\frac{1}{\det A}C^T
    \tag{1}
    $$
    $C^T$ 是原矩阵 $A$ 的伴随矩阵,伴随矩阵行1列1元素就是原矩阵(1,1)元素的代数余子式,由于转置的缘故,伴随矩阵1,2 的元素是原矩阵2,1 元素的代数余子式。
    公式的证明:只需检验A 乘以它的上述公式的逆是否等于单位阵

  2. 观察这个公式是如何运作的,化简公式得$AC^T=(\det A)I$,写成矩阵形式有

    $\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}C_{11}&\cdots&C_{n1}\\C_{12}&\cdots&C_{n2}\\\vdots&\ddots&\vdots\\C_{1n}&\cdots&C_{nn}\end{bmatrix}=Res$
  3. 对于这两个矩阵的乘积,观察其结果的元素 $Res_{11}=a_{11}C_{11}+a_{12}C_{12}+\cdots+a_{1n}C_{1n}$这正是上一讲提到的将行列式按第一行展开的结果。
    同理,对$Res_{22}, \cdots, Res_{nn}$都有$Res_{ii}=\det A$对角线元素均为$\det A$(因为元素和代数余子式都来自同一行,根据行列式的代数余子式公式可得)

  4. 再来看非对角线元素:回顾二阶的情况,如果用第一行乘以第二行的代数余子式$a_{11}C_{21}+a_{12}C_{22}$得到$a(-b)+ab=0$。换一种角度看问题,$a(-b)+ab=0$也是一个矩阵的行列式值,即$A_{s}=\begin{bmatrix}a&b\\a&b\end{bmatrix}$$\det A_{s}$按第二行展开,也会得到$\det A_{s}=a(-b)+ab$,因为行列式有两行相等所以行列式值为零。

  5. 推广到$n$阶,我们来看元素$Res_{1n}=a_{11}C_{n1}+a_{12}C_{n2}+\cdots+a_{1n}C_{nn}$,该元素是第一行与最后一行的代数余子式相乘之积。这个式子也可以写成一个特殊矩阵的行列式,即矩阵

    $A_{s}=\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\a_{n-a1}&a_{n-12}&\cdots&a_{n-1n}\\a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\end{bmatrix}$

    计算此矩阵的行列式,将$\det A_{s}$按最后一行展开,也得到$\det A_{s}=a_{11}C_{n1}+a_{12}C_{n2}+\cdots+a_{1n}C_{nn}$。同理,行列式$A_{s}$有两行相等,其值为零。

  6. 结合对角线元素与非对角线元素的结果,我们得到

    $Res=\begin{bmatrix}\det A&0&\cdots&0\\0&\det A&\cdots&0\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\0&0&\cdots&\det A\end{bmatrix}$

    也就是$(1)$等式右边的$(\det A)I$,得证。

2. 求解$Ax=b$,克莱姆法则

因为我们现在有了逆矩阵的计算公式,所以对$Ax=b$有
$x=A^{-1}b=\frac{1}{\det A}C^Tb$
这就是计算$x$的公式,即克莱默法则(Cramer’s rule)。

现在来观察$x=\frac{1}{\det A}C^Tb$,我们将得到的解拆分开来,对$x$的第一个分量有$x_1=\frac{y_1}{\det A}$,这里$y_1$是一个数字,其值为$y_1=b_1C_{11}+b_2C_{21}+\cdots+b_nC_{n1}$,每当我们看到数字与代数余子式乘之积求和时,都应该联想到求行列式,也就是说y1可以看做是一个矩阵的行列式,我们设这个矩阵为B1。所以有
$x_i=\frac{\det B_1}{\det A}$,同理有$x_2=\frac{\det B_2}{\det A}$,$x_2=\frac{\det B_2}{\det A}$

而$B_1$是一个型为$\Bigg[b a_2 a_3 \cdots a_n\Bigg]$的矩阵,即将矩阵$A$的第一列变为$b$向量而得到的新矩阵。其实很容易看出,$\det B_1$可以沿第一列展开得到$y_1=b_1C_{11}+b_2C_{21}+\cdots+b_nC_{n1}$

一般的,有$B_j=\Bigg[a_1 a_2 \cdots a_{j-1} b a_{j+1} \cdots a_n\Bigg]$即将矩阵$A$的第$j$列变为$b$向量而得到的新矩阵。所以,对于解的分量有$x_j=\frac{\det B_j}{\det A}$

克莱姆法则的作用主要是提供一种代数表达式,而不是一种算法,不建议使用它来计算。

3. 通过行列式求体积

行列式的值等于某几何体的体积,

3.1. 待证明命题:行列式的绝对值等于一个箱子(平行N 面体)的体积。

  1. 来看三维空间中的情形,对于$3$阶方阵$A$,取第一行$(a_1,a_2,a_3)$,令其为三维空间中点$A_1$的坐标,同理有点$A_2, A_3$。连接这三个点与原点可以得到三条边,使用这三条边展开得到一个平行六面体,$\left|\det A\right|$就是该平行六面体的体积。

  2. 对于三阶单位矩阵,其体积为$\det I=1$,此时这个箱子是一个单位立方体。这其实也证明了前面学过的行列式性质1。于是我们想,如果能接着证明性质2、3即可证明体积与行列式的关系。

  3. 对于行列式性质2,我们交换两行并不会改变箱子的大小,同时行列式的绝对值也没有改变,得证。

  4. 现在我们取矩阵$A=Q$,而$Q$是一个标准正交矩阵,此时这个箱子是一个立方体,可以看出其实这个箱子就是刚才的单位立方体经过旋转得到的。对于标准正交矩阵,有$Q^TQ=I$,等式两边取行列式得$\det(Q^TQ)=1=\left|Q^T\right|\left|Q\right|$,而根据行列式性质10有$\left|Q^T\right|=\left|Q\right|$,所以$原式=\left|Q\right|^2=1, \left|Q\right|=\pm 1$。

  5. 接下来在考虑不再是“单位”的立方体,即长方体。 假设$Q$矩阵的第一行翻倍得到新矩阵$Q_2$,此时箱子变为在第一行方向上增加一倍的长方体箱子,也就是两个“标准正交箱子”在第一行方向上的堆叠。易知这个长方体箱子是原来体积的两倍,而根据行列式性质3.a有$\det Q_2=\det Q$,于是体积也符合行列式的数乘性质。

3.2. 我们来看二阶方阵的情形,

对于2 维平面,行列式是向量形成的平行四边形的面积,三角形的面积就为它的一半。$\det(X,X')={\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}}=ad-bc$

$\begin{vmatrix}a+a'&b+b'\\c&d\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}a'&b'\\c&d\end{vmatrix}$
在二阶情况中,行列式就是一个求平行四边形面积的公式,原来我们求由四个点$(0,0), (a,b), (c,d), (a+c,b+d)$围成的四边形的面积,需要先求四边形的底边长,再做高求解,现在只需要计算$\det A=ad-bc$即可(更加常用的是求由$(0,0), (a,b), (c,d)$围成的三角形的面积,即$\frac{1}{2}ad-bc$)。
也就是说,如果知道了歪箱子的顶点坐标,求面积(二阶情形)或体积(三阶情形)时,我们不再需要开方、求角度,只需要计算行列式的值就行了。

在一般情形下,由点$(x_1,y_1), (x_2,y_2), (x_3,y_3)$围成的三角形面积等于
$\frac{1}{2}\begin{vmatrix}x_1&y_1&1\\x_2&y_2&1\\x_3&y_3&1\end{vmatrix}$
计算时分别用第二行、第三行减去第一行化简到第三列只有一个$1$(这个操作实际作用是将三角形移动到原点),得到
$\frac{1}{2}\begin{vmatrix}x_1&y_1&1\\x_2-x_1&y_2-y_1&0\\x_3-x_1&y_3-y_1&0\end{vmatrix}$
再按照第三列展开,得到三角形面积等于$\frac{(x_2-x_1)(y_3-y_1)-(x_3-x_1)(y_2-y_1)}{2}$。


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