1. 线性代数导论(13)-复习一(最新讲义)
  2. 第十三讲:复习一

线性代数导论(13)-复习一(最新讲义)

第十三讲:复习一

  1. 令$u, v, w$是$\mathbb{R}^7$空间内的非零向量:则$u, v, w$生成的向量空间可能是$1, 2, 3$维的。

  2. 有一个$5 \times 3$矩阵$U$,该矩阵为阶梯矩阵(echelon form),有$3$个主元:则能够得到该矩阵的秩为$3$,即三列向量线性无关,不存在非零向量使得三列的线性组合为零向量,所以该矩阵的零空间应为$\begin{bmatrix}0\0\0\ \end{bmatrix}$。

  3. 接上一问,有一个$10 \times 3$矩阵$B=\begin{bmatrix}U\2U \end{bmatrix}$,则化为最简形式(阶梯矩阵)应为$\begin{bmatrix}U\0 \end{bmatrix}$,$rank(B)=3$。

  4. 接上一问,有一个矩阵型为$C=\begin{bmatrix}U & U \ U & 0 \end{bmatrix}$,则化为最简形式应为$\begin{bmatrix}U & 0 \ 0 & U \end{bmatrix}$,$rank(C)=6$。矩阵$C$为$10 \times 6$矩阵,$dim N(C^T)=m-r=4$。

  5. 有$Ax=\begin{bmatrix}2\4\2\ \end{bmatrix}$,并且$x=\begin{bmatrix}2\0\0\ \end{bmatrix}+c\begin{bmatrix}1\1\0\ \end{bmatrix}+d\begin{bmatrix}0\0\1 \end{bmatrix}$,则等号右侧$b$向量的列数应为$A$的行数,且解的列数应为$A$的列数,所以$A$是一个$3 \times 3$矩阵。从解的结构可知自由元有两个,则$rank(A)=1, dim N(A)=2$。从解的第一个向量得出,矩阵$A$的第一列是$\begin{bmatrix}1\2\1 \end{bmatrix}$;解的第二个向量在零空间中,说明第二列与第一列符号相反,所以矩阵第二列是$\begin{bmatrix}-1\-2\-1 \end{bmatrix}$;解的第三个向量在零空间中,说明第三列为零向量;综上,$A=\begin{bmatrix}1 & -1 & 0\ 2 & -2 & 0\ 1 & -1 & 0\ \end{bmatrix}$。

  6. 接上一问,如何使得$Ax=b$有解?即使$b$在矩阵$A$的列空间中。易知$A$的列空间型为$c\begin{bmatrix}1\2\1\ \end{bmatrix}$,所以使$b$为向量$\begin{bmatrix}1\2\1\ \end{bmatrix}$的倍数即可。

  7. 有一方阵的零空间中只有零向量,则其左零空间也只有零向量。

  8. 由$5 \times 5$矩阵组成的矩阵空间,其中的可逆矩阵能否构成子空间?两个可逆矩阵相加的结果并不一定可逆,况且零矩阵本身并不包含在可逆矩阵中。其中的奇异矩阵(singular matrix,非可逆矩阵)也不能组成子空间,因为其相加的结果并不一定能够保持不可逆。

  9. 如果$B^2=0$,并不能得出$B=0$,反例:$\begin{bmatrix}0 & 1\ 0 & 0\ \end{bmatrix}$,这个矩阵经常会被用作反例

  10. $n \times n$矩阵的列向量线性无关,则是否$\forall b, Ax=b$有解?是的,因为方阵各列线性无关,所以方阵满秩,它是可逆矩阵,肯定有解。


  11. $
    B=
    \begin{bmatrix}
    1 & 1 & 0 \
    0 & 1 & 0 \
    1 & 0 & 1 \
    \end{bmatrix}
    \begin{bmatrix}
    1 & 0 & -1 & 2 \
    0 & 1 & 1 & -1 \
    0 & 0 & 0 & 0 \
    \end{bmatrix}
    $,在不解出$B$的情况下,求$B$的零空间。可以观察得出前一个矩阵是可逆矩阵,设$B=CD$,则求零空间$Bx=0, CDx=0$,而$C$是可逆矩阵,则等式两侧同时乘以$C^{-1}$有$C^{-1}CDx=Dx=0$,所以当$C$为可逆矩阵时,有$N(CD)=N(D)$,即左乘逆矩阵不会改变零空间。本题转化为求$D$的零空间,$N(B)$的基为
    $\begin{bmatrix}-F\I\ \end{bmatrix}$,也就是$\begin{bmatrix}1\-1\1\0 \end{bmatrix}\quad\begin{bmatrix}-2\1\0\1\end{bmatrix}$

  12. 接上题,求$Bx=\begin{bmatrix}1\0\1\ \end{bmatrix}$的通解。观察$B=CD$,易得$B$矩阵的第一列为$\begin{bmatrix}1\0\1\ \end{bmatrix}$,恰好与等式右边一样,所以$\begin{bmatrix}1\0\0\0\ \end{bmatrix}$可以作为通解中的特解部分,再利用上一问中求得的零空间的基,得到通解
    $
    x=
    \begin{bmatrix}1\0\0\0\ \end{bmatrix}+
    c_1\begin{bmatrix}1\-1\1\0 \end{bmatrix}+c_2\begin{bmatrix}-2\1\0\1\end{bmatrix}
    $

  13. 对于任意方阵,其行空间等于列空间?不成立,可以使用$\begin{bmatrix}0 & 1\ 0 & 0\ \end{bmatrix}$作为反例,其行空间是向量$\begin{bmatrix}0 & 1\ \end{bmatrix}$的任意倍数,而列空间是向量$\begin{bmatrix}1 & 0\ \end{bmatrix}$的任意倍数。但是如果该方阵是对称矩阵,则成立。

  14. $A$与$-A$的四个基本子空间相同。

  15. 如果$A, B$的四个基本子空间相同,则$A, B$互为倍数关系。不成立,如任意两个$n$阶可逆矩阵,他们的列空间、行空间均为$\mathbb{R}^n$,他们的零空间、左零空间都只有零向量,所以他们的四个基本子空间相同,但是并不一定具有倍数关系。

  16. 如果交换矩阵的某两行,则其行空间与零空间保持不变,而列空间与左零空间均已改变。

  17. 为什么向量$v=\begin{bmatrix}1\2\3 \end{bmatrix}$不能同时出现在矩阵的行空间与零空间中?令$A\begin{bmatrix}1\2\3 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0\0\0 \end{bmatrix}$,很明显矩阵$A$中不能出现值为$\begin{bmatrix}1 & 2 & 3 \end{bmatrix}$的行向量,否则无法形成等式右侧的零向量。这里引入正交(perpendicular)的概念,矩阵的行空间与零空间正交,它们仅共享零向量。


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