线性代数导论(7)-求解Ax=0 主变量,特解(最新讲义)

1. 举例求特解

1.1. $3 \times 4$矩阵

$$A= \begin{bmatrix} 1 & 2 & 2 & 2\\ 2 & 4 & 6 & 8\\ 3 & 6 & 8 & 10\\ \end{bmatrix}$$

求$Ax=0$的特解:

1.2. 找出主变量(pivot variable):

$$A= \begin{bmatrix} 1 & 2 & 2 & 2\\ 2 & 4 & 6 & 8\\ 3 & 6 & 8 & 10\\ \end{bmatrix} \underrightarrow{消元} \begin{bmatrix} \underline{1} & 2 & 2 & 2\\ 0 & 0 & \underline{2} & 4\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ \end{bmatrix} =U$$
  • 主变量(pivot variable,下划线元素)的个数为2,即矩阵$A$的秩(rank)为2,即$r=2$。
  • 主变量所在的列为主列(pivot column),其余列为自由列(free column)。
  • 自由列中的变量为自由变量(free variable),自由变量的个数为$n-r=4-2=2$

1.3. 通常,给自由列变量赋值,去求主列变量的值

如,令$x_2=1, x_4=0$求得特解
$x=c_1\begin{bmatrix}-2\\1\\0\\0\\\end{bmatrix}$
再令$x_2=0, x_4=1$求得特解
$x=c_2\begin{bmatrix}2\\0\\-2\\1\\\end{bmatrix}$

1.4. 简化行阶梯形式 Reduced row echelon form 主元上下都是0,主元变为1

将$U$矩阵化进一步简为$R$矩阵,
在简化行阶梯形式中,主元上下的元素都是$0$;
一个全为0的行表示该行的原行是其他行的线性组合;
从Ax=0变为Ux=0再变为Rx=0的解,解更明了;

$$U= \begin{bmatrix} \underline{1} & 2 & 2 & 2\\ 0 & 0 & \underline{2} & 4\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ \end{bmatrix} \underrightarrow{化简} \begin{bmatrix} \underline{1} & 2 & 0 & -2\\ 0 & 0 & \underline{1} & 2\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ \end{bmatrix} =R$$

1.5. 将$R$矩阵中的主变量放在一起,自由变量放在一起(列交换)

得到

$$R= \begin{bmatrix} \underline{1} & 2 & 0 & -2\\ 0 & 0 & \underline{1} & 2\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ \end{bmatrix} \underrightarrow{列交换} \left[ \begin{array}{c c | c c} 1 & 0 & 2 & -2\\ 0 & 1 & 0 & 2\\ \hline 0 & 0 & 0 & 0\\ \end{array} \right] = \begin{bmatrix} I & F \\ 0 & 0 \\ \end{bmatrix} \textrm{,其中}I\textrm{为单位矩阵,}F\textrm{为自由变量组成的矩阵}$$

1.6. 计算零空间矩阵$N$(nullspace matrix),其列为特解,有$RN=0$。

$$x_{pivot}=-Fx_{free} \\ \begin{bmatrix} I & F \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_{pivot} \\ x_{free} \\ \end{bmatrix}=0 \\ N=\begin{bmatrix} -F \\ I \\ \end{bmatrix}$$

1.7. 本例特解

$$N= \begin{bmatrix} -2 & 2 \\ 0 & -2 \\ 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{bmatrix}$$

与上面求得的两个$x$特解一致。

2. 另一个例子

矩阵
$$A= \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 4 & 6 \\ 2 & 6 & 8 \\ 2 & 8 & 10 \\ \end{bmatrix} \underrightarrow{消元} \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 2 & 2 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ \end{bmatrix} \underrightarrow{化简} \begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ \end{bmatrix} =R$$

矩阵的秩仍为$r=2$,有$2$个主变量,$1$个自由变量。

特解:零空间内特定的解,给定自由变量特定的值(1或者0)求出的解。
通过特解能构造出整个零空间,有了特解,就能有常数倍特解,他们之间的和线性组合构成了整个零空间。

消元后矩阵U的秩Rank(A)=r,表示主变量的个数,主元的个数,表示只有r个方程起作用,
那么自由变量的个数即n-r个(对于矩阵m×n,n列对应n个未知数),令自由变量取1,0值就能得到特解,
所有的特解构成了零空间的基,特解的线性组合即构成了整个零空间。

同上一例,取自由变量为$x_3=1$,求得特解
$$x=c \begin{bmatrix} -1 \\ -1 \\ 1 \\ \end{bmatrix}$$


技术交流学习,请加QQ微信:631531977
目录