线性代数导论(19)-行列式公式和代数余子式(最新讲义)

1. 上一讲中的三条基本性质:

  1. $\det I=1$;
  2. 交换行,行列式变号;
  3. 对行列式的每一行都可以单独使用线性运算,其值不变
    如何求行列式?
    对于简单的2阶和3阶的矩阵,行列式的表达式相对简单,而且恰好是每条主对角线(左上至右下)元素乘积之和减去每条副对角线(右上至左下)元素乘积之和(见图中红线和蓝线)。

2. 二阶方阵行列式

我们使用这三条性质推导二阶方阵行列式:
$\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}a&0\\c&d\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}0&b\\c&d\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}a&0\\c&0\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}a&0\\0&d\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}0&b\\c&0\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}0&b\\0&d\end{vmatrix}=ad-bc$

3. 三阶方阵行列式

按照这个方法,我们继续计算三阶方阵的行列式,可以想到,我们保持第二、三行不变,将第一行拆分为个行列式之和,再将每一部分的第二行拆分为三部分,这样就得到九个行列式,再接着拆分这九个行列式的第三行,最终得到二十七个行列式。可以想象到,这些矩阵中有很多值为零的行列式,我们只需要找到不为零的行列式(各行各列均有元素),求和即可。
$\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}a_{11}&0&0\\0&a_{22}&0\\0&0&a_{33}\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}a_{11}&0&0\\0&0&a_{23}\\0&a_{32}&0\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}0&a_{12}&0\\a_{21}&0&0\\0&0&a_{33}\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}0&a_{12}&0\\0&0&a_{23}\\a_{31}&0&0\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}0&0&a_{13}\\a_{21}&0&0\\0&a_{32}&0\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}0&0&a_{13}\\0&a_{22}&0\\a_{31}&0&0\end{vmatrix}$
$原式=a_{11}a_{22}a_{33}-a_{11}a_{23}a_{32}-a_{12}a_{21}a_{33}+a_{12}a_{23}a_{31}+a_{13}a_{21}a_{32}-a_{13}a_{22}a_{31}\tag{1}$

4. 多阶方阵行列式

同理,我们想继续推导出阶数更高的式子,按照上面的式子可知$n$阶行列式应该可以分解成$n!$个非零行列式(占据第一行的元素有$n$种选择,占据第二行的元素有$n-1$种选择,以此类推得$n!$):
$\det A=\sum_{n!} \pm a_{1\alpha}a_{2\beta}a_{3\gamma}\cdots a_{n\omega}, (\alpha, \beta, \gamma, \omega)=P_n^n\tag{2}$

这个公式还不完全,接下来需要考虑如何确定符号:
正负号取决于(α,β,γ,…,ω)排列调整为标准排列需要的调整次数,奇数次为负,偶数次为正

$\begin{vmatrix}0&0&\overline 1&\underline 1\\0&\overline 1&\underline 1&0\\\overline 1&\underline 1&0&0\\\underline 1&0&0&\overline 1\end{vmatrix}$
  • 观察带有下划线的元素,它们的排列是$(4,3,2,1)$,变为$(1,2,3,4)$需要两步操作,所以应取$+$;
  • 观察带有上划线的元素,它们的排列是$(3,2,1,4)$,变为$(1,2,3,4)$需要一步操作,所以应取$-$。
  • 观察其他元素,我们无法找出除了上面两种以外的排列方式,于是该行列式值为零,这是一个奇异矩阵。

5. 代数余子式

此处引入代数余子式(cofactor)的概念,它的作用是把$n$阶行列式化简为$n-1$阶行列式。

于是我们把$(1)$式改写为:
$a_{11}(a_{22}a_{33}-a_{23}a_{32})+a_{12}(a_{21}a_{33}-a_{23}a_{31})+a_{13}(a_{21}a_{32}-a_{22}a_{31})$

$\begin{vmatrix}a_{11}&0&0\\0&a_{22}&a_{23}\\0&a_{32}&a_{33}\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}0&a_{12}&0\\a_{21}&0&a_{23}\\a_{31}&0&a_{33}\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}0&0&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&0\\a_{31}&a_{32}&0\end{vmatrix}$

于是,我们可以定义$a_{ij}$的代数余子式:将原行列式的第$i$行与第$j$列抹去后得到的$n-1$阶行列式记为$C_{ij}$,i+j为偶时时取+,i+j为奇时取-。

现在再来完善式子$(2)$:将行列式$A$沿第一行展开:
$\det A=a_{11}C_{11}+a_{12}C_{12}+\cdots+a_{1n}C_{1n}$

6. 了解了三种求行列式的方法:

  1. 行列式等于主元的乘积(主元公式),只要先通过消元得到主元,最简单
  2. 使用$(2)$式展开,求$n!$项之积;
  3. 通过代数余子式的方法,把原行列式展开成更简单的行列式。

计算例题:三对角矩阵

三对角矩阵是非零元素在对角线上或与对角线相邻的位置上,例如对于含有1的4×4三对角矩阵:
$A_4=\begin{vmatrix}1&1&0&0\\1&1&1&0\\0&1&1&1\\0&0&1&1\end{vmatrix}\stackrel{沿第一行展开}{=}\begin{vmatrix}1&1&0\\1&1&1\\0&1&1\end{vmatrix}-\begin{vmatrix}1&1&0\\0&1&1\\0&1&1\end{vmatrix}=-1-0=-1$
三对角线矩阵一阶A1,A2,A3…n阶An 的行列式是一个1, 0, -1, -1, 1 如此循环的数列,行列式的值以6 为周期变化.


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