1. 线性代数导论(4)-矩阵A的LU分解(最新讲义)
  2. 1. 逆矩阵
  3. 2. LU分解
  4. 3. 将一个 $n$ 阶方阵 $A$ 变换为 $LU$ 需要的计算量估计:
  5. 4. 置换矩阵(Permutation Matrix)

线性代数导论(4)-矩阵A的LU分解(最新讲义)

1. 逆矩阵

对一个 $n$ 阶方阵 $A$,,如果存在一个 $n$阶方阵 $B$使 $AB=BA=I_{n}$,($I_{n}$是单位矩阵),则称 $A$是可逆的,也称 $A$为非奇异矩阵。 $B$是$A$的逆阵。

$AB$的逆矩阵:
$$\begin{aligned} A \cdot A^{-1} = I & = A^{-1} \cdot A\\ (AB) \cdot (B^{-1}A^{-1}) & = I\\ \textrm{则} AB \textrm{的逆矩阵为} & B^{-1}A^{-1} \end{aligned}$$

$A^{T}$的逆矩阵:
$$\begin{aligned} (A \cdot A^{-1})^{T} & = I^{T}\\ (A^{-1})^{T} \cdot A^{T} & = I\\ \textrm{则} A^{T} \textrm{的逆矩阵为} & (A^{-1})^{T} \end{aligned}$$

2. LU分解

LU分解是矩阵分解的一种,可以将一个矩阵分解为一个下三角矩阵和一个上三角矩阵的乘积(有时是它们和一个置换矩阵的乘积)。LU分解主要应用在数值分析中,用来解线性方程、求逆矩阵或计算行列式。

例子

${\begin{bmatrix}a_11&a_12&a_13\\a_21&a_22&a_23\\a_31&a_32&a_33\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}l_11&0&0\\l_21&l_22&0\\l_31&l_32&l_33\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}u_11&u_12&u_13\\0&u_22&u_23\\0&0&u_33\\\end{bmatrix}}$

将一个简单的3×3矩阵A进行LU分解:
$A={\begin{bmatrix}1&2&3\\2&5&7\\3&5&3\\\end{bmatrix}}$
先将矩阵第一列元素中a11以下的所有元素变为0,即
$L_1A={\begin{bmatrix}1&0&0\\-2&1&0\\-3&0&1\\\end{bmatrix}}\times {\begin{bmatrix}1&2&3\\2&5&7\\3&5&3\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&2&3\\0&1&1\\0&-1&-6\\\end{bmatrix}}$

再将矩阵第二列元素中a22以下的所有元素变为0,即
$L_2(L_1A)={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&1&1\\\end{bmatrix}}\times {\begin{bmatrix}1&2&3\\0&1&1\\0&-1&-6\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&2&3\\0&1&1\\0&0&-5\\\end{bmatrix}}=U$

$L=L_1^1L_2^1={\begin{bmatrix}1&0&0\\2&1&0\\3&0&1\\\end{bmatrix}}\times {\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&-1&1\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0&0\\2&1&0\\3&-1&1\\\end{bmatrix}}$

A=LU,如果不存在行互换,消元乘数(即消元步骤中的需要乘以并减去的那个倍数),消元乘数可以直接写入L中。即只要步骤正确,可以在得到LU过程中把A抛开

有时我们将U中的主元提取出来,其余的位置设为0,即diagonal对角阵D,可分解得到LDU,两边各一个三角矩阵,中间一个对角阵。

3. 将一个 $n$ 阶方阵 $A$ 变换为 $LU$ 需要的计算量估计:

  1. 第一步,将$a_{11}$作为主元,需要的运算量约为$n^2$

    $$\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \\ \end{bmatrix} \underrightarrow{消元} \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ 0 & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ 0 & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \\ \end{bmatrix}$$
  2. 以此类推,接下来每一步计算量约为$(n-1)^2、(n-2)^2、\cdots、2^2、1^2$。

  3. 则将 $A$ 变换为 $LU$ 的总运算量应为$O(n^2+(n-1)^2+\cdots+2^2+1^2)$,即$O(\frac{n^3}{3})$

4. 置换矩阵(Permutation Matrix)

方阵是行数及列数皆相同的矩阵
3阶方阵的置换矩阵有6个:
$$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ \end{bmatrix}$$

$n$阶方阵的置换矩阵有$\binom{n}{1}=n!$个。


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