线性代数导论(5)-转换、置换、向量空间R(最新讲义)

1. 置换矩阵(Permutation Matrix)

置换矩阵是一种系数只由0和1组成的方块矩阵。置换矩阵的每一行和每一列都恰好有一个1,其余的系数都是0。
在线性代数中,每个n阶的置换矩阵都代表了一个对n个元素(n维空间的基)的置换。当一个矩阵乘上一个置换矩阵时,所得到的是原来矩阵的横行(置换矩阵在左)或纵列(置换矩阵在右)经过置换后得到的矩阵。

将方阵的情况推广到一般矩阵的情况:
一个m×n的0-1矩阵 $P$ 是置换矩阵当且仅当 $P\cdot P^{T}=I_{m}$
这时一个0-1矩阵是置换矩阵当且仅当它的每一行恰有一个1,每一列至多有一个1。

$P$为置换矩阵,对任意可逆矩阵$A$有:
$PA=LU$

$n$阶方阵的置换矩阵$P$有 $\binom{n}{1}=n!$

置换矩阵$P$,有$P^TP = I$$P^T = P^{-1}$

例子

2. 转置矩阵(Transpose Matrix)

把A的横行写为$A^T$的纵列,把A的纵列写为$A^T$的横行

$(A^T)_{ij} = (A)_{ji}$

例子
$\left[ \begin{matrix} 1& 2\\ 3& 4\\ 5& 6\end{matrix} \right] ^{T}=\left[ \begin{matrix} 1& 3& 5\\ 2& 4& 6\end{matrix} \right]$

3. 对称矩阵(Symmetric Matrix)

在线性代数中,对称矩阵是一个方形矩阵,其转置矩阵和自身相等。

$A^T= A$

对称矩阵中的右上至左下方向元素以主对角线(左上至右下)为轴进行对称。
若将其写作 $A=(a_{ij})$,则:$a_{ij}=a_{ji}$

例子
$$\begin{pmatrix} a & b & c \\ b & d & e \\ c & e & f \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 1 & 3 & 0 \\ 3 & 1 & 6 \\ 0 & 6 & 1 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 1 & 5 \\ 5 & 7 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 2 \end{pmatrix}$$
对任意矩阵$R$有$R^TR$为对称矩阵:

$$
(R^TR)^T = (R)^T(R^T)^T = R^TR\
\textrm{即}(R^TR)^T = R^TR
$$

对角矩阵都是对称矩阵。对角矩阵(diagonal matrix)是一个主对角线之外的元素皆为0的矩阵.

4. 向量空间(Vector Space)

向量空间是可以缩放和相加的(叫做向量的)对象的集合。

所有向量空间都必须包含原点(Origin)

向量空间中任意向量的数乘、求和运算得到的向量也在该空间中。
即向量空间要满足加法封闭和数乘封闭。


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