线性代数导论(11)-矩阵空间、秩1矩阵和小世界图(最新讲义)

1. 矩阵空间

矩阵空间,可看做是新的向量空间,比如3×3 的矩阵,它们加法或数乘都停留在3×3 矩阵空间,
3×3 矩阵有一些子空间:3×3 对称矩阵的子空间(两个对称矩阵相加还是对称的,数乘对称矩阵还是对称的);

接上一讲,使用$3 \times 3$矩阵举例,其矩阵空间记为$M$。则$M$的一组基为:
$$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ \end{bmatrix} \\ \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ \end{bmatrix} \\ \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{bmatrix} \\$$

易得,$dim M=9$。

1.1. 对称矩阵$S$

对称矩阵中的右上至左下方向元素以主对角线(左上至右下)为轴进行对称。
若将其写作 $A=(a_{ij}) 元素 a_{ij}=a_{ji}$

这个子空间的基和维数是怎样的?
维数是6,一组基是:对角线三个元素和对角线以上的3 个元素分别为1 其余为0 的6 个矩阵
(由这6 个矩阵就可以得到所有的3×3 的对称矩阵了,因为下三角的元素可由上三角的元素可知结果)

1.2. 3×3 的上三角矩阵 $U$:

这个子空间的基和维数是怎样的?
维数是6,一组基是:上三角的6 个元素分别为1 其余为0.

所以可以得出:

  • 对称矩阵空间有 $dim S=6$;
  • 上三角矩阵空间有 $dim U=6$;
  • 对角矩阵空间有 $dim D=3$.
  • 求并(intersect):$S \cup U=D, dim(S \cup U)=9$
  • 求交:对称矩阵交上三角矩阵维数是3(就只有对角线上有非0 元素)
    $S \cap U=M, dim(S \cap U)=3$
  • S+U (注意不是S∪U,因为它不构成子空间) 取S 内任一元素(矩阵)加上U 内任一元素(矩阵)即可,它
    可以得到所有3×3 矩阵,而很明显它的维数是9,
    $dim S + dim U=12=dim(S \cup U) + dim(S \cap U)$

2. 另一个例子来自微分方程:

$\frac{d^2y}{dx^2}+y=0$

$y''+y=0$

方程的解有:
$y=\cos{x}, \quad y=\sin{x}, \quad y=e^{ix}, \quad y=e^{-ix}$等等(其中$e^{ix}=\cos{x}+i\sin{x}, \quad e^{-ix}=\cos{x}-i\sin{x}$

而该方程的所有解:
$y=c_1 \cos{x} + c_2 \sin{x}$

所以,该方程的零空间的一组基为$\cos{x}, \sin{x}$,零空间的维数为$2$。同理$e^{ix}, e^{-ix}$可以作为另一组基。

3. 秩一矩阵

$2 \times 3$矩阵
$A=\begin{bmatrix}1&4&5\\2&8&10\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1\\2\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1&4&5\end{bmatrix}$
且$dimC(A)=1=dimC(A^T)$,所有秩1 的矩阵都可表示为一列乘以一行的形式 $A=UV^T$ 的形式,这里的$U, V$均为列向量。

  1. 秩一矩阵类似“积木”,可以搭建任何矩阵:
    例如对于一个$5 \times 17$秩为$4$的矩阵,只需要$4$个秩一矩阵就可以组合出来。

  2. 问题:秩1 矩阵组成的集合是子空间吗?
    令$M$代表所有$5 \times 17$,$M$中所有秩$4$矩阵组成的集合并不是一个子空间,通常两个秩四矩阵相加,其结果并不是秩四矩阵。一个由秩4 矩阵组成的子集,子集中两个矩阵相加结果很可能是一个秩5 矩阵,而不是秩4 矩阵。

  3. 问题:假设$\mathbb{R}^4$ 中,假设各分量之和为零的所有向量构成的集合S,如下,
    $v=\begin{bmatrix}v_1\\v_2\\v_3\\v_4\end{bmatrix}$,取$\mathbb{R}^4$中满足$v_1+v_2+v_3+v_4=0$的所有向量组成一个向量空间$S$,则$S$是一个向量子空间。
    因为易看出,不论是使用系数乘以该向量,或是用两个满足条件的向量相加,其结果仍然落在分量和为零的向量空间中。

  4. 问题:求$S$的维数?
    从另一个角度看,$v_1+v_2+v_3+v_4=0$等价于$\begin{bmatrix}1&1&1&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}v_1\\v_2\\v_3\\v_4\end{bmatrix}=0$
    则$S$就是$A=\begin{bmatrix}1&1&1&1\end{bmatrix}$的零空间。
    $rank(A)=1$,则对其零空间有$rank(N(A))=n-r=3=dim N(A)$,则$S$的维数是$3$。

  5. 顺便看一下$1 \times 4$矩阵$A$的四个基本子空间:

  • 行空间:$dim C(A^T)=1$,其中的一组基是$\begin{bmatrix}1\\1\\1\\1\end{bmatrix}$
  • 零空间:$dim N(A)=3$,其中的一组基是$\begin{bmatrix}-1\\1\\0\\0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}-1\\0\\1\\0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}-1\\0\\0\\1\end{bmatrix}$
  • 列空间:$dim C(A)=1$,其中一组基是$\begin{bmatrix}1\end{bmatrix}$可以看出列空间就是整个$\mathbb{R}^1$空间。
  • 左零空间:$dim N(A^T)=0$,因为$A$转置后没有非零的$v$可以使$Av=0$成立,就是$\begin{bmatrix}0\end{bmatrix}$。
    综上,$dim C(A^T)+dim N(A)=4=n, dim C(A)+dim N(A^T)=1=m$

4. 小世界图

图(graph)由节点(node)与边(edge)组成,边连通各个结点。
比如六度分隔理论.一个5 个点6 条边的图可以用一个5×6 的矩阵完全表示。一个有趣的问题是:一个由很多结点和很多条边组成的图,最大的两点距离是多少?有研究表明,只需要6步,这也是小世界的名称的来源,下讲会更多讲解


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