1. 线性代数导论(9)-线性相关性、基、维数(最新讲义)
  2. 1. 向量组线性相关性
  3. 2. 向量组“生成”一个空间
  4. 3. 基(basis)
  5. 4. 维数

线性代数导论(9)-线性相关性、基、维数(最新讲义)

1. 向量组线性相关性

  1. 什么条件下,$x1,x2…xn$ 是线性无关的?
    抽象定义:如果不存在结果为零向量的组合,向量组线性无关,去掉系数全部为零的情况。

  2. 背景知识:$Ax=b$,Am×n,其中 $m<n$,未知数的个数大于方程的个数,由此可推断:Ax=0 存在非0 解,解存在的原因是矩阵消元后存在自由列。
    假设二维空间中,任意三个不共线的向量必是线性相关的,因为由上面的背景知识可知,这三个向量组成的矩阵A 是 $m<n$ 的。

  3. 对于矩阵中各列的线性相关性,如果零空间N(A)里存在非零向量,那么各列相关。

  4. 假设$v_1,\ v_2,\ \cdots,\ v_n$是 $m\times n$ 矩阵$A$的列向量:
    如果$A$零空间中有且仅有$0$向量,则各向量线性无关,$rank(A)=n$,无自由变量;
    如果存在非零向量$c$使得$Ac=0$,则存在线性相关向量,$rank(A)\lt n$,有自由变量。
    (注意说线性无关相关都是针对向量组而非矩阵,我们只是把它放在矩阵里并与零空间联系在一起来研究线性相关性)

2. 向量组“生成”一个空间

设向量组:$v_1,\ v_2,\ \cdots,\ v_n$,生成了一个空间的意思是这个空间包含这些向量的所有线性组合。比如,矩阵的所有列生成列空间。
对于一个向量组,他们能够生成一个空间。令$S$是向量组生成的空间,这表示$S$包含向量组所有的线性组合,$S$是包含这些向量的空间中最小的一个。

3. 基(basis)

向量空间的一组基是指:一系列的向量,$v_1,\ v_2,\ \cdots,\ v_d$,这些向量具有两大性质:
1) 他们是线性无关的,可逆;
2) 他们生成整个空间;基包含向量的个数不多不少
3) 对于给定N 维空间,那么基向量的个数就是N 个

比如三维空间中,单位阵是最明显的一个基,除此之外,还有很多其他的基,
比如向量[1,1,2],[2,2,5]是生成二维平面的一组基,再加上一个向量[3,4,8]就是三维空间的一组基。

4. 维数

维数,即基向量的个数,空间的大小(维数)。

对于向量空间$\mathbb{R}^n$,如果$n$个向量组成的矩阵为可逆矩阵,则这$n$个向量为该空间的一组基,而数字$n$就是该空间的维数(dimension)。

举例:
$$A= \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & 1 \\ 1 & 1 & 2 & 1 \\ 1 & 2 & 3 & 1 \\ \end{bmatrix}$$

  • 上面这个列向量,他们能生成列空间,但这些列向量不是基,但我们可以得到第一列和第二列是列空间的一组基,基的维数是2
  • 上面矩阵的秩Rank(A)=2 为列空间的维数(注意不是矩阵$A$ 的维数,是$A$的列空间的维数,同样,不能说子空间的秩,矩阵才有秩)
  • $rank(A)=2=主元存在的列数=列空间维数$。

考虑零空间$N(A)$:零空间的维数是自由变量的数目

可以很容易的求得$Ax=0$的两个解,如
$$x_1= \begin{bmatrix} -1 \\ -1 \\ 1 \\ 0 \\ \end{bmatrix}, x_2= \begin{bmatrix} -1 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \\ \end{bmatrix}$$
根据前几讲,我们知道特解的个数就是自由变量的个数,所以$n-rank(A)=2=自由变量存在的列数=零空间维数$

我们得到:
列空间$C(A)$维数$dim C(A)=rank(A)$,
零空间$N(A)$维数$dim N(A)=n-rank(A)$


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