线性代数导论(6)-列空间和零空间(最新讲义)

1. 行空间与列空间

1.1. 黑体字用于表示行向量与列向量

列向量(列矩阵) 是一个 m × 1 矩阵,m为任意正整数
${x} ={\begin{bmatrix}x_{1}\\x_{2}\\\vdots \\x_{m}\end{bmatrix}}$

行向量 是一个 1 × m 矩阵,m为任意正整数
${x} ={\begin{bmatrix}x_{1}&x_{2}&\dots &x_{m}\end{bmatrix}}$

1.2. 行空间与列空间

集中所有的行矢量形式的一 向量空间 称为 行空间,同样集中所有列矢量形式的矢量的空间称为 列空间。

  • 有实数元素的 m × n 矩阵的行空间是 $R^{n}$的由这个矩阵的行向量生成的子空间。它的维度等于矩阵的秩,最大为 min(m,n)
  • 有实数元素的 m × n 矩阵的列空间是 $R^{m}$的由这个矩阵的列向量生成的子空间。它的维度等于矩阵的秩,最大为 min(m,n)

1.3. 例子

给定矩阵J:
$J={\begin{bmatrix}2&4&1&3&2\\-1&-2&1&0&5\\1&6&2&2&2\\3&6&2&5&1\end{bmatrix}}$
横行是 r1 = (2,4,1,3,2), r2 = (−1,−2,1,0,5), r3 = (1,6,2,2,2), r4 = (3,6,2,5,1)。
结果$J$的行空间是{ r1, r2, r3, r4 } 张成的$R^{5}$的子空间。因为这4个行向量是线性无关的,行空间是4维的。
此外,在这种情况下,可以被看出它们都正交于向量 n = (6,−1,4,−4,0),所以可以推出行空间由正交于n的所有$R^{5}$中的向量组成。

对向量子空间$S$和$T$,有$S \cap T$也是向量子空间。

2. 列空间和Ax=b

2.1. 矩阵与列向量

一个矩阵乘一个列向量可以理解为这个矩阵中所有列向量的线性组合

$m \times n$矩阵$A$,$n \times 1$矩阵$x$,$m \times 1$矩阵$b$,运算$Ax=b$:

$$\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1(n-1)} & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2(n-1)} & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{m(n-1)} & a_{mn} \\ \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} x_{1} \\ x_{2} \\ \vdots \\ x_{n-1} \\ x_{n} \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} b_{1} \\ b_{2} \\ \vdots \\ b_{m} \\ \end{bmatrix}$$

将A中的每一列看做一个向量
$A=\left( \begin{matrix} v_{1}& v_{2}& \ldots & v_{n}\end{matrix} \right)$
由$A$的列向量生成的子空间为$A$的列空间;

2.2. $b$取哪些向量的时候方程组有解?

当且仅当$b$属于$A$的列空间,$Ax=b$有非零解
也就是说当$b$是v1,…,vn的线性组合的时候Ax=b有解;
而v1,…,vn的所有线性组合张成一个空间,这个空间由矩阵的列向量张成,因此称为该矩阵的列空间.这个列空间也是b的所有可能取值。

A的零空间是$Ax=0$中$x$的解组成的集合。

3. 零空间

一个算子 $A$ 的零空间是方程 $Av = 0$ 的所有解 $v$ 的集合,它也叫做 A 的核.
用符号表示为 ${\hbox{Null}}(A)=\{\mathbf {v} \in V:A\mathbf {v} =\mathbf {0} \}$

4. 找到一个矩阵的零空间

考虑矩阵
$A={\begin{bmatrix}-2&-4&4\\2&-8&0\\8&4&-12\end{bmatrix}}$
要找到它的零空间,须找到所有向量 $v$ 使得$Av=0$.

首先把 $A$ 变换成简约行梯阵形式
$E={\begin{bmatrix}1&0&-4/3\\0&1&-1/3\\0&0&0\end{bmatrix}}$

有 $Av=0$ 当且仅当 $Ev=0$。使用符号 $v=[x,y,z]^{T}$,后者方程变为
${\begin{bmatrix}1&0&-4/3\\0&1&-1/3\\0&0&0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0\\0\\0\end{bmatrix}};{\begin{bmatrix}x-4z/3\\y-z/3\\0\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0\\0\\0\end{bmatrix}};{\begin{bmatrix}x=4z/3\\y=z/3\\0=0\end{bmatrix}};{\begin{bmatrix}x=4s/3\\y=s/3\\z=s\end{bmatrix}}.$

所以,$A$ 的零空间是一维空间,
$v={\begin{bmatrix}4s/3\\s/3\\s\end{bmatrix}}$

5. 参考文献

麻省理工公开课:线性代数列空间和零空间
线性代数(十一) : 列空间与零空间的进一步介绍 - 方橙 - CSDN博客
零空间 - 维基百科,自由的百科全书


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