1. 线性代数导论(28)-正定矩阵和最小值(最新讲义)
  2. 正定性的判断

线性代数导论(28)-正定矩阵和最小值(最新讲义)

本讲我们会了解如何完整的测试一个矩阵是否正定,测试$x^TAx$是否具有最小值,最后了解正定的几何意义——椭圆(ellipse)和正定性有关,双曲线(hyperbola)与正定无关。另外,本讲涉及的矩阵均为实对称矩阵。

正定性的判断

我们仍然从二阶说起,有矩阵$A=\begin{bmatrix}a&b\\b&d\end{bmatrix}$,判断其正定性有以下方法:

  1. 矩阵的所有特征值大于零则矩阵正定:$\lambda_1>0,\ \lambda_2>0$
  2. 矩阵的所有顺序主子阵(leading principal submatrix)的行列式(即顺序主子式,leading principal minor)大于零则矩阵正定:$a>0,\ ac-b^2>0$
  3. 矩阵消元后主元均大于零:$a>0,\ \frac{ac-b^2}{a}>0$
  4. $x^TAx>0$

大多数情况下使用4来定义正定性,而用前三条来验证正定性。

来计算一个例子:$A=\begin{bmatrix}2&6\\6&?\end{bmatrix}$,在$?$处填入多少才能使矩阵正定?

  • 来试试$18$,此时矩阵为$A=\begin{bmatrix}2&6\\6&18\end{bmatrix}$$\det A=0$,此时的矩阵成为半正定矩阵(positive semi-definite)。矩阵奇异,其中一个特征值必为$0$,从迹得知另一个特征值为$20$。矩阵的主元只有一个,为$2$。

    计算$x^TAx$,得$\begin{bmatrix}x_1&x_2\end{bmatrix}\begin{bmatrix}2&6\\6&18\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x_1\\x_2\end{bmatrix}=2x_1^2+12x_1x_2+18x_2^2$这样我们得到了一个关于$x_1,x_2$的函数$f(x_1,x_2)=2x_1^2+12x_1x_2+18x_2^2$,这个函数不再是线性的,在本例中这是一个纯二次型(quadratic)函数,它没有线性部分、一次部分或更高次部分($Ax$是线性的,但引入$x^T$后就成为了二次型)。

    当$?$取$18$时,判定1、2、3都是“刚好不及格”。

  • 我们可以先看“一定不及格”的样子,令$?=7$,矩阵为$A=\begin{bmatrix}2&6\\6&7\end{bmatrix}$,二阶顺序主子式变为$-22$,显然矩阵不是正定的,此时的函数为$f(x_1,x_2)=2x_1^2+12x_1x_2+7x_2^2$,如果取$x_1=1,x_2=-1$则有$f(1,-1)=2-12+7<0$

    如果我们把$z=2x^2+12xy+7y^2$放在直角坐标系中,图像过原点$z(0,0)=0$,当$y=0$或$x=0$或$x=y$时函数为开口向上的抛物线,所以函数图像在某些方向上是正值;而在某些方向上是负值,比如$x=-y$,所以函数图像是一个马鞍面(saddle),$(0,0,0)$点称为鞍点(saddle point),它在某些方向上是极大值点,而在另一些方向上是极小值点。(实际上函数图像的最佳观测方向是沿着特征向量的方向。)

  • 再来看一下“一定及格”的情形,令$?=20$,矩阵为$A=\begin{bmatrix}2&6\\6&20\end{bmatrix}$,行列式为$\det A=4$,迹为$trace(A)=22$,特征向量均大于零,矩阵可以通过测试。此时的函数为$f(x_1,x_2)=2x_1^2+12x_1x_2+20x_2^2$,函数在除$(0,0)$外处处为正。我们来看看$z=2x^2+12xy+20y^2$的图像,式子的平方项均非负,所以需要两个平方项之和大于中间项即可,该函数的图像为抛物面(paraboloid)。在$(0,0)$点函数的一阶偏导数均为零,二阶偏导数均为正(马鞍面的一阶偏导数也为零,但二阶偏导数并不均为正,所以),函数在改点取极小值。

    在微积分中,一元函数取极小值需要一阶导数为零且二阶导数为正$\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}=0, \frac{\mathrm{d}^2u}{\mathrm{d}x^2}>0$。在线性代数中我们遇到了了多元函数$f(x_1,x_2,\cdots,x_n)$,要取极小值需要二阶偏导数矩阵为正定矩阵。

    在本例中(即二阶情形),如果能用平方和的形式来表示函数,则很容易看出函数是否恒为正,$f(x,y)=2x^2+12xy+20y^2=2\left(x+3y\right)^2+2y^2$。另外,如果是上面的$?=7$的情形,则有$f(x,y)=2(x+3y)^2-11y^2$,如果是$?=18$的情形,则有$f(x,y)=2(x+3y)^2$

    如果令$z=1$,相当于使用$z=1$平面截取该函数图像,将得到一个椭圆曲线。另外,如果在$?=7$的马鞍面上截取曲线将得到一对双曲线。

    再来看这个矩阵的消元,$\begin{bmatrix}2&6\\6&20\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1&0\\-3&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}2&6\\0&2\end{bmatrix}$,这就是$A=LU$,可以发现矩阵$L$中的项与配平方中未知数的系数有关,而主元则与两个平方项外的系数有关,这也就是为什么正数主元得到正定矩阵。

    上面又提到二阶导数矩阵,这个矩阵型为$\begin{bmatrix}f_{xx}&f_{xy}\\f_{yx}&f_{yy}\end{bmatrix}$,显然,矩阵中的主对角线元素(纯二阶导数)必须为正,并且主对角线元素必须足够大来抵消混合导数的影响。同时还可以看出,因为二阶导数的求导次序并不影响结果,所以矩阵必须是对称的。现在我们就可以计算$n\times n$阶矩阵了。

接下来计算一个三阶矩阵,$A=\begin{bmatrix}2&-1&0\\-1&2&-1\\0&-1&2\end{bmatrix}$,它是正定的吗?函数$x^TAx$是多少?函数在原点去最小值吗?图像是什么样的?

  • 先来计算矩阵的顺序主子式,分别为$2,3,4$;再来计算主元,分别为$2,\frac{3}{2},\frac{4}{3}$;计算特征值,$\lambda_1=2-\sqrt 2,\lambda_2=2,\lambda_3=2+\sqrt 2$
  • 计算$x^TAx=2x_1^2+2x_2^2+2x_3^2-2x_1x_2-2x_2x_3$
  • 图像是四维的抛物面,当我们在$f(x_1,x_2,x_3)=1$处截取该面,将得到一个椭圆体。一般椭圆体有三条轴,特征值的大小决定了三条轴的长度,而特征向量的方向与三条轴的方向相同。

现在我们将矩阵$A$分解为$A=Q\Lambda Q^T$,可以发现上面说到的各种元素都可以表示在这个分解的矩阵中,我们称之为主轴定理(principal axis theorem),即特征向量说明主轴的方向、特征值说明主轴的长度。

$A=Q\Lambda Q^T$是特征值相关章节中最重要的公式。


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